Математика. Матрицы и операции с ними

Мы решили поделить статью на две части: про алгоритмы полезна для программистов, а статьёй про матрицы можно поделиться со знакомыми старшеклассниками и первокурсниками физматов.



Матрица это таблица с числами. Обозначается большой буквой, строки обозначаются буквой i, столбцы буквой j.
Например, матрица размером 3×3 выглядит так.
$$
A =
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9 \\
\end{bmatrix}
$$
Чтобы выбрать конкретный элемент из матрицы, нужно написать название матрицы и индекс элемента.
Сначала строка, потом столбец — \(A_{3;2}\) = 8

Операции с матрицами

Пока что мы расскажем про транспонирование, сложение, вычитание, умножение на число, умножение матрицы на матрицу и возведение в степень. Если будет нужно что-нибудь по-сложнее — потом расскажем.



Транспонирование
У элемента матрицы индексы строки и столбца меняются местами.
$$
A =
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9 \\
\end{bmatrix}

A =
\begin{bmatrix}
1 & 4 & 7 \\
2 & 5 & 8 \\
3 & 6 & 9 \\
\end{bmatrix}
$$
Было \(A_{1;2}\) = 4, после транспонирования станет \(A_{1;2}\) = 2.



Сложение и вычитание
Чтобы сложить матрицы, нужно сложить элемент с индексом i;j в первой матрице и элемент с таким же индексом во второй матрице. Складывать и вычитать можно только одинаковые по размеру матрицы.
Например
$$
\begin{bmatrix}
3 & 1 & 5 \\
6 & 2 & 8
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
1 & 3 & 4 \\
2 & 5 & 0
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
3 + 1 & 1 + 3 & 5 + 4 \\
6 + 2 & 2 + 5 & 8 + 0
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
4 & 4 & 9 \\
8 & 7 & 8
\end{bmatrix}
$$


$$
\begin{bmatrix}
3 & 1 & 5 \\
6 & 2 & 8
\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
1 & 3 & 4 \\
2 & 5 & 0
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
3 — 1 & 1 — 3 & 5 — 4 \\
6 — 2 & 2 — 5 & 8 — 0
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
2 & -2 & 1 \\
4 & -3 & 8
\end{bmatrix}
$$



Умножение матрицы на число
Просто умножаем каждый элемент на это число
$$
2 \cdot
\begin{bmatrix}
3 & 1 & 5 \\
6 & 2 & 8
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
2 \cdot 3 & 2\cdot 1 & 2\cdot 5 \\
2\cdot 6 & 2\cdot 2 & 2\cdot 8
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
6 & 2 & 10 \\
12 & 4 & 16
\end{bmatrix}
$$



Умножение матрицы на матрицу
Чтобы умножить матрицу на матрицу нужно одно условие: число столбцов первой матрицы должно совпадать с числом строк во второй. После умножения, получается матрица с количеством строк первой матрицы и столбцов второй.
Матрицу 5×2 можно умножить на матрицу 2×4, но не на матрицу 3×4.

Алгоритм умножения:

  1. Разметьте будущую матрицу с количеством строк от первой матрицы и столбцов от второй, у нас это 4×5.
  2. Умножьте первый элемент первой строки первой матрицы — 3 на первый элемент первого столбца второй матрицы — 4.
    Второй элемент первой строки из первой матрицы умножьте на второй элемент из первого столбца второй матрицы — 2×3. Третий с третьим, и так до конца строки в первой матрице.
    Когда строка закончилась, результаты умножения сложить вот так: 3×4 + 2×3 = 18.
    Тут помогает правило для возможности умножения, потому что количество строк и столбцов одинаковое.
  3. Результат сложения внести в элемент в новой матрице с индексом строки из первой матрицы и столбца со второй матрицы. Первые строка и столбец, значит \(C_{1;1}\) = 18, это показано на втором слайде ниже.
  4. Теперь те же числа из первой матрицы, умножить на второй, третий, Nый столбик и складывать, пока не закончатся столбики во второй матрице.
  5. Если закончились столбики, переходим на следующую строку в первой матрице и повторяем действия второго пункта.
  6. Если закончились строки — всё готово.



Возведение в степень
Возведение в степень — это умножение матрицы саму на себя сколько-то раз. Возводить в степень можно только квадратные матрицы, потому что они не изменяются в размерах и не нарушают условие для умножения.

$$
\begin{bmatrix}
3 & 1 & 5 \\
6 & 2 & 8 \\
9 & 4 & 1
\end{bmatrix}
*
\begin{bmatrix}
3 & 1 & 5 \\
6 & 2 & 8 \\
9 & 4 & 1
\end{bmatrix}
*
\begin{bmatrix}
3 & 1 & 5 \\
6 & 2 & 8 \\
9 & 4 & 1
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
582 & 222 & 528 \\
1044 & 402 & 900 \\
1008 & 414 & 546
\end{bmatrix}
$$



Пока что с матрицами это всё.
Если у вас есть предложения для тем разбора по математике, пишите нам в телеграм @cmp_sci.

Поделиться
Отправить
Запинить
 26   4 мес   алгоритмы   математика
Популярное